The first song that came to my mind is from Arvanitaki that sang "to skouloukouin" (=the worm) few years ago in Cypriot dialect.
Depend what you want storm. Traditional Cypriot songs? Those are usually lullabies. Like this one
Αγιά Μαρίνα τζιαι τζυρά
Αγιά Μαρίνα τζιαι τζυρά
που ποτζοιμίζεις τα μωρά
έλα ποτζιοίμεις το τωρά
που έσιει η μάνα του δουλειά.
Επήεν κάτω στο γιαλόν
να φέρει ξύλα τζιαι νερόν
να πλύννει τα ρουχούθκια του
τζιαι τα πουκαμισούθκια του.
Αγιά Μαρίνα τζιοίμεις το
τζιαι πάρ το πέρα γύρισ’ το
τζιοίμεις το που να το χαρώ
τζι έχω να του χαρίσω:
Την Αλεξάντρεια ζάχαρη
τζιαι το Μισίρι ρύζι
τζιαι την Κωνσταντινούπολη
δική του να τη ρίζει.
Αγιά Μαρίνα μάρανε
το γιο μου να τζιοιμίσω
τζι εν να σου κάμω λουτουρκάν
τζι εν να σε λουτουρκήσω.
Τζιοιμήθου που να σε χαρώ
τζιοιμήθου που να ζήσεις
στον `Αϊν Τάφον του χριστού
να πας να προσκυνήσεις.
Also there small songs which were used as games with the kids like those...
Ι
Πίρι πίρι το παπίριν
τούτον ούλον εν περβόλιν
τούτος εν ο περβολάρης
τούτος ΄πιασεν το μήλον
τούτος εκαθάρισεν το
τούτος έφαεν το
τούτον το καημένον
με να φάει με να πιεί
έππεσεν στη φυλακή.
ΙΙ
Καμήλαν καμηλάρη
να πάμεν στα Βαρώσια
να φέρομεν κουτάλια
να φάμεν τα πέλάφκια
στον γάμον του μωρού μου.
ΙΙΙ
Πέρνα πάρνα μέλισσα
με τα μελισσόπουλλα
άλογον επιάσαν
τζιαι το εκρεμμάσαν
τσιάκκα, τσιάκκα
το καλλύττερον πουλλίν.
Αν ΄ταν να μπεις μες τα κουτσιά
Αν ΄ταν να μπεις μες τα κουτσιά
δεικλάς μιαν τζιει
δεικλάς μιαν δα
αν δεις κανέναν κάτσε
αν μεν δεις κανέναν
τράβα κουτσιά, τράβα κουτσιά ...
with the above...usually they pull kids ears.
This one it was said as well to kids according to older people.
Το καρναβάλι των ζώων
Έναν κοπάιν έβοσιεν τζιει κάτω στα χωράφκια
τζι εσου αντί για γλύκισμαν ετάιζες με αγκάθκια.
Μια αίγια πίσω έκοψεν, άφηκεν το κοπάιν
έμπα τζιαι βρει κάναν τσουρίν μαζίν του για να πάει.
Ο πετεινός κακαριστός, η όρνιθα κακαριστή
ο σκορταλλός πιθκιαβλιστός, η αυκοτζιηνάρα πλουμιστή.
Η γαουρού αγκανιστή τζι η αλουπού παουριστή
στον `Αϊν Τάφον του Χριστού πηαίννουν κουρτουμπελλιστοί.
Στα σύκα ο νους του κόρωνου τζι εσέναν στο κουμάριν
του σιύλλου ο νουρος ζαός τζι εσιει τον τζιαι καμαριν.
Ψηλός ψηλός καλόηρος τζιαι πίττα η τζιεφαλή του
σαν ζίζυρος πας το δεντρόν ώσπου να φκει η ψυσιή του.
Εψές ο ψύλλος έψαλλεν τζι η φτείρα εκαλονάρκαν
τζι έναν φτωχόν καλοηρίν αντίερον εδάκκαν.
Αν αναγιώσεις τον κολιόν εν να σου φκάλει αμμάτιν
μα το φιλίν της κορασιάς έσιει μόνον γινάτιν.
Ο λύκος τζι αν εγέρασεν τζι άσπρισεν το μαλλίν του
μήτε τα νύσια του άλλαξεν μήτε την τζιεφαλήν του.
Ξιπετσισμένος κουρκουτάς τον άλλον κατατρέσιει
τζι ο μισιαρός ο κκεραττάς ούλλον κουνούπκια τρέσιει.
Ο γάδαρος εξέβηκεν στον φούρνον τζι αγκανίζει
τζι η κορασιά που ο χαμολιός, άκκασεν, κοτσιηνίζει.
Την κατσελλούν την κοτσιηνην τζιαι τζιειν τον βουν τον μέλισσον
εν να του καμω αντρουνον να μα το Κύριε ελέησον.
The rest I have in my notes are just Cypriot songs that were said among adults as well.
Hope that helps.